Article traduït per un sistema de traducció automàtica. Més informació, aquí.

Probabilitats que toqui la loteria

Cada espanyol es gasta de mitjana a l'any en jocs d'atzar uns 208 euros, segons l'Institut Nacional d'Estadística (INE)
Per Alex Fernández Muerza 2 de juny de 2005

Quin joc ofereix més oportunitats d’obtenir premi, la loteria o les travesses? Hi ha algun mètode per a guanyar en els casinos? Per què és més fàcil del que sembla que coincideixin dues persones amb el mateix aniversari? A totes aquestes preguntes responen les lleis de la probabilitat i l’estadística.

Quina probabilitat hi ha que toc?

Poques persones podran dir que s’han resistit a la temptació de provar sort amb algun joc d’atzar, com el testifica tots els anys el balanç econòmic de Loteries i Apostes de l’Estat, l’organisme estatal que controla jocs com les travesses o les loteries. L’any 2003, per exemple, es van jugar a Espanya una mica més de 8.000 milions d’euros, gairebé un 9% més que l’any anterior. Segons l’Institut Nacional d’Estadística (INE), cada espanyol es gasta de mitjana a l’any en jocs d’atzar uns 208 euros. Quant als jocs que més passions aixequen destaca sens dubte la Loteria Nacional, amb una participació del 57%; seguida per la Primitiva, amb el 25%; la Bo Lotus, amb el 7%; la Travessa amb el 6% i, finalment, La Grossa de la Primitiva, amb el 4%. Respecte als llocs on més diners es juga, encapçalen la llista Madrid i Barcelona, seguides a major distància per València i Alacant.

Quina probabilitat hi ha que toc?

Ara bé, quines probabilitats hi ha que ens toqui el primer premi en aquests jocs? Per a respondre a aquesta pregunta s’utilitza la regla de Laplace, que marca per exemple que les probabilitats d’encertar un número d’un dau són 1 de 6, ja que es compta en el llançament amb sis números possibles. En el cas de la Loteria Nacional, a més dels números en joc, cal tenir en compte les sèries. En el sorteig setmanal dels dijous s’emeten 6 sèries de 100.000 números (00.000-99.999), dels quals 35.450 s’emporten algun tipus de premi -diversos premis “majors”, aproximacions, premis “menors” i reintegraments- mentre que els dissabtes i sortejos especials com el de la Creu Roja o el de juliol arriben a les 10 sèries, amb el mateix nombre de premis que els dijous. Quant al sorteig extraordinari de Nadal, es posen en joc 170 sèries de 85.000 bitllets, dels quals 13.334 s’emporten premi. Així, per exemple, si juguem un bitllet de loteria en el premi de Nadal, la probabilitat que ens toqui el premi major és d’1 entre 14 milions i mig (170 seriïs x 85.000 bitllets), mentre que en un sorteig dels dijous, la probabilitat és d’1 entre 600.000.

Per part seva, l’ONCE realitza sortejos diaris a excepció del dissabte, amb dos sortejos especials que denominen el “Cuponazo”, celebrat els divendres, i el “Supercupón”, els diumenges. Igual que en el cas de la Loteria Nacional, cal tenir en compte les sèries en joc. Els seus bitllets porten 5 xifres que representin 100.000 números i en els sortejos especials es lliura a més un premi especial si coincideix també amb la sèrie. Per exemple, encertar el “Cuponazo” significa una probabilitat d’1 entre 15 milions (150 seriïs x 100.000 números). El nombre de combinacions possibles augmenta, i amb això la dificultat de portar-nos el premi major si, com diversos mitjans de comunicació van criticar l’any passat, s’emeten més cupons del que realment són venuts, en virtut d’un acord amb el Ministeri de Treball, que establia un topall màxim de repartiment en premis del 55% de la recaptació, la qual cosa deixava oberta la porta a la sobre-emissió de cupons.

Quant a les travesses, si fem una aposta senzilla, hem de fer front a 3 elevat a la 14 de casos possibles, ja que en cadascun dels catorze partits tenim tres possibles resultats: 1, X, 2. Per tant, cal dividir la nostra aposta (1) entre totes les possibilitats (3 a la 14), amb el que per a emportar-se el ple hi ha una probabilitat d’1 entre gairebé 5 milions, si juguéssim sense tenir en compte que alguns resultats són més probables que uns altres, a causa de les diferències entre els equips de futbol en joc.

En el cas de la Loteria Primitiva, tenim 49 números, dels quals sis són els que resulten guanyadors. Vegem quines probabilitats hi ha de guanyar el premi màxim amb una aposta senzilla de sis números. En el primer número extret ens resulten favorables sis casos, qualsevol dels nostres, d’entre els possibles quaranta-nou, per tant cal dividir 6 entre 49. En la segona extracció, en haver sortit ja un número, queden cinc favorables i quaranta-vuit possibles, és a dir 5 entre 48, i així, en progressió fins a arribar a la sisena, on arribaríem a dividir l’últim número entre els 44 que ens quedarien possibles. En unir totes aquestes xifres, resulta que la probabilitat de guanyar el premi major amb aquesta aposta simple és d’1 entre 14 milions.

I si es vol augmentar encara més el risc, en el sorteig setmanal que acaba d’estrenar Loteries i Apostes de l’Estat, “La Grossa de la Primitiva”, la probabilitat d’emportar-se el primer premi és encara pitjor, ja que cal encertar els 5 números triats (entre els 54 possibles) i a més el número clau (1 entre 10): 1 entre uns 31 milions. I sempre es poden complicar les coses: els “Euromillones” tenen una probabilitat d’1 entre 76 milions, i per exemple, als Estats Units, una de les loteries més populars, el “Mega Millions”, el gros té una probabilitat d’1 entre 135 milions.

No obstant això, com recorda Álvaro Ibáñez, de la web sobre tecnologia Microsiervos el que siguin millors o pitjors per al jugador depèn del percentatge total que “retornen” en premis: “La ruleta retorna entre el 95% i el 97% dels premis aproximadament, depenent de si és Ruleta Europea o Americana, la Loteria Nacional i les escurabutxaques dels bars el 70%, depenent en aquest últim cas de les normes de cada comunitat autònoma, la Loteria Primitiva el 55% del recaptat, etc.” Així mateix, afegeix Ibáñez, hi ha molts més factors en el joc que fan més o menys interessant jugar a l’un o l’altre joc, com el repartiment dels premis per a categoria, quant es reparteix en total, etc. Per exemple, Euromillones va canviar les normes i un 7% que guardaven per a pots ho van passar a un 16%, la qual cosa beneficia als que encerten el premi màxim de 5+2 però perjudica als altres. “En general, tots els jocs similars a la Primitiva estan una mica esbiaixats quant a que els repartiments de premis no són realment proporcionals a la dificultat d’encertar en cada categoria. Els premis grossos s’emporten una part enorme del total (i tots els pots); d’aquesta manera es poden anunciar grans premis sucosos, encara que siguin molt més difícils d’encertar. D’altra banda, els reintegraments no són del tot favorables per als jugadors: no es guanya molt amb ells realment. Les loteries els inclouen simplement perquè es torni a reinvertir en més apostes. Com a la llarga l’organització té l’avantatge, acaba guanyant més encara simplement pel fet que la gent juga més”, sentència Ibáñez.

Aquestes probabilitats no tenen en compte possibles imperfeccions físiques que tinguin els sistemes d’extracció dels números, que alteren lògicament els resultats. Aquest fet va servir a Gonzalo García Pelayo i a la seva família, als quals va acabar per conèixer-se com els “Pelayos”, per a fer-se milionaris en les ruletes dels casinos de mig món. Com explica Raúl Ibáñez, professor del Departament de Matemàtiques de la Universitat del País Basc i responsable de la web de divulgació matemàtica Divulgamat , “ja sigui per una manipulació humana o per una anomalia del sistema, la probabilitat està alterada. Com descobrir una variació? Anem al lloc de l’aposta i observem i apuntem les respectives tirades; quants més llançaments puguem considerar millor. Després calculem la possible probabilitat”. Els guanys dels Pelayo es van elevar a més d’un milió i mig d’euros durant tres anys a principis dels 90. Els casinos, quan van descobrir el sistema, van canviar les ruletes de lloc, de model o van intercanviar peces de les unes i les altres.

Com puc guanyar?

Si se segueix amb ganes de temptar a la sort, com cal jugar per a guanyar? Segons Germán Fernández, doctor en Física de Partícules, la clau resideix a jugar regularment: “Partint que en tots els jocs d’atzar els diners que es reparteix en premis és menor que el que es recapta, una persona que aposti regularment en un joc massa senzill guanyarà moltes vegades, però acabarà perdent diners a llarg termini; d’altra banda, una persona que aposti regularment en un joc en el qual la probabilitat de guanyar sigui molt petita, possiblement perd diners, però si gana, guanyarà molt més que el que hagi apostat”. Un apostador que jugui regularment a la primitiva durant 50 anys, podrà arribar a perdre uns 15.000 euros, encara que la probabilitat de guanyar el premi major alguna vegada en la seva vida es redueix a una d’entre 700.

Un apostador que jugui regularment a la primitiva durant 50 anys, podrà arribar a perdre uns 15.000 euros, encara que la probabilitat de guanyar el premi major alguna vegada en la seva vida es redueix a una d’entre 700

El mateix raonament li porta a Fernández a afirmar que no val la pena participar en les conegudes com a “penyes d’apostes”: “En augmentar les probabilitats d’encert, la quantia de la despesa s’aproxima a la del possible premi. En una penya de 7.690 membres que jugui 7.690 apostes tots els dies (amb la mateixa despesa individual) s’obtindran uns 10 premis al llarg dels 50 anys, però caldrà repartir els guanys entre els 7.690 membres, 10/7690 premis per persona, prop de 1.500 euros”. Per tant, si ens atenim a les matemàtiques, convé invertir els diners en una cosa més tangible. Però com opina Landart, la il·lusió, el cimbell d’un enorme premi, impulsa a jugar deixant a un costat la raó, “no em sembla malament mentre un s’ho prengui com un joc intranscendent en el qual arrisca pocs diners: d’il·lusions també es viu, i sempre hi ha algú al qual li toca la sort”.

Com puc guanyar?

I parlant de sort, hi ha qui té més sort que uns altres? Així semblen pensar-ho les milers de persones que compren un dècim en l’administració de Sort (Lleida), la famosa “Bruixa d’Or”. La història té tots els ingredients per a pensar que la sort, després de tot, encara que pogués semblar el contrari, sí que existeix… almenys, per al seu propietari, que s’ha fet milionari. Si més no, es tracta d’una història curiosa: un poble amb un nom ideal per als amants de les coincidències i les supersticions, un premi gros de la loteria del Nen de 1994 que comença a cridar l’atenció, i un avesat empresari, Xavier Gabriel, que aprofita Internet per a vendre milions d’euros en dècims. Si unim tots aquests ingredients, no és d’estranyar que enguany per la Grossa de Nadal hagin facturat 29 milions d’euros i hagin repartit 390 milions d’euros en premis, i que l’any passat facturessin 22 milions i repartissin 120. Encara que tenen més probabilitats de vendre el ‘gros’ simplement pel volum del seu negoci (és l’administració de loteria que més embeni), si ens acollim a les xifres la veritat és que la sort els ha somrigut enguany: venent un 1% dels dècims que es jugaven en tota Espanya, han repartit de nou el premi Gros.

Matemàtiques i jocs d’atzar

La Probabilitat i l’Estadística s’encarreguen de l’estudi de l’atzar des del punt de vista de les matemàtiques: la primera proposa models per als fenòmens aleatoris, és a dir, els que es poden predir amb certesa, i estudia les seves conseqüències lògiques, mentre que la segona ofereix mètodes i tècniques que permeten entendre les dades a partir de models. D’aquesta manera, el Càlcul de les Probabilitats és una teoria matemàtica i l’Estadística és una ciència aplicada on cal donar un contingut concret a la noció de probabilitat.

En aquest sentit, el càlcul científic de probabilitats pot ajudar-nos a comprendre el que a vegades la intuïció ens indica de manera errònia. Un exemple típic és la denominada “paradoxa dels aniversaris”. Suposem que estem en un grup de 23 persones. Els càlculs ens diuen que la probabilitat que dues persones celebrin el mateix dia el seu aniversari és del 50%, alguna cosa que a simple vista sembla increïble. No és d’estranyar per tant que la Teoria de Probabilitat s’utilitzi en camps tan diversos com la demografia, la medicina, les comunicacions, la informàtica, l’economia i les finances

No és d’estranyar per tant que la Teoria de Probabilitat s’utilitzi en camps tan diversos com la demografia, la medicina, les comunicacions, la informàtica, l’economia i les finances

No obstant això, a diferència d’altres branques clàssiques de la matemàtica, la seva certificació com a teoria matemàtica no es produeix fins als anys trenta del segle XX, gràcies al físic i matemàtic Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Fins llavors, la teoria de probabilitat es va moure entre aquells que pretenien comprendre els jocs d’atzar, la qual cosa va portar per exemple al fet que la classe alta europea durant el segle XVII es plantegés nombroses qüestions teòriques.

Quant al concepte en si, la probabilitat i l’atzar sempre ha estat en la ment de l’ésser humà. Per exemple, sumeris i assiris utilitzaven un os extret del taló d’animals com a ovelles, cérvols o cavalls, denominat astrágalo o talus, que tallaven perquè poguessin caure en quatre posicions diferents, per la qual cosa són considerats com els precursors dels daus. En el cas de la civilització egípcia, algunes pintures oposades en les tombes dels faraons mostren tant astrágalos com a taulers per al registre dels resultats. Per part seva, els jocs amb daus es van practicar ininterrompudament des dels temps de l’Imperi Romà fins al Renaixement, encara que no es coneix a penes les regles amb les quals jugaven. Un d’aquests jocs, denominat “hazard”, paraula que en anglès i francès significa risc o perill, va ser introduït a Europa amb la Tercera Croada. Les arrels etimològiques del terme provenen de la paraula àrab “al-atzar”, que significa “dau”. Posteriorment, en el “Purgatori” de Dante el terme apareix ja com a “atzar”.

L’Estadística té el seu origen mil o dos mil anys abans de Crist, a Egipte, la Xina i Mesopotàmia, on ja es feien censos per a l’administració dels imperis. Com a exemple curiós, els egipcis van tenir un instrument anomenat “Nilómetro”, que servia per a fixar els impostos a partir del cabal del Nil: quanta més aigua es mesurava, més fèrtils eren les ribes del riu, i per tant, més imposats podien pagar els vilatans.